Física de los arrastres parciales y de la composición de velocidades aparentes

F I S I C A
de los
Arrastres Parciales
y de la
Composición de Velocidades Aparentes

Manuel Ma Domenech Izquierdo
7 de marzo 1963 / enero 1991

Cinemática de los Arrastres Parciales (Modelo Ondulatorio)

(Publicado en el no 417, p.10-12, del Boletín de Información del Colegio
Oficial de Ingenieros Industriales de Madrid, Mayo-junio 1990).

Hace más de medio siglo que el efecto de arrastre de Fizeau se ha tomado como demostración experimental de la teoría de la relatividad. Sin embargo no es necesario recurrir a ella para explicar este fenómeno porque se puede hacer de otra manera que parece mucho más de acuerdo con la realidad física de las cosas.

En dicho experimento hay un medio transparente con movimiento relativo tanto respecto al emisor como al receptor de la radiación. Podemos estudiar este caso como si hubiera reflexiones de vaivén en el medio transparente a la luz, resultando así que la velocidad apreciada para la radiación es menor. Esta concepción es corriente incluso ya en los libros de texto. "La interferencia coherente de las ondas secundarias con la onda incidente, da como resultado una disminución de la velocidad de propagación".(*) Una interpretación más moderna de este mismo modelo, lo da la electrodinámica cuántica al suponer que un fotón interacciona con todas las estructuras internas de un medio transparente cuando lo atraviesa. El mismo Richard P. Feynman, inventor de la electrodinámica cuántica, explica esto clarísimamente en un libro recientemente editado.(*) De este modo se puede dar la explicación cuantitativa que da como resultado precisamente la fórmula de la suma relativista de velocidades.
(*) "Fundamentos de óptica". ROSSI. Pag. 340. Reverté 1978.
(*) "Electrodinámica cuántica". FEYNMAN. figura 69, pag. 111. Alianza Universidad. Madrid 1988.

Como la radiación se propaga en realidad a la velocidad c, para recorrer una distancia d, del líquido transparente, si tiene que recorrer sucesivamente más espacios retrocediendo y volviendo a avanzar, habrá tenido que recorrer d', cumpliéndose que:

 d     v
--- = ---
 d'    c

si v es la velocidad de la radiación apreciada a través del medio.

Téngase presente que d' representa d, más el camino desandado por reflexión hacia atrás, más ese mismo camino recorrido otra vez hacia delante.
La diferencia entre los dos caminos vale:

          d.c           c            c - v
d' - d = ----- - d = d(--- - 1) = d -------
           v            v              v

Si el líquido se mueve, la zona de líquido real recorrida es d - u.t, siendo u la velocidad del líquido y t el tiempo empleado por la luz para recorrer d.

El espacio recorrido por la luz en el tiempo t será c.t y ese espacio se compone de: el recorrido directo d, más el exceso de recorrido debido a las reflexiones internas:

        c - v
(d-u.t)-------
          v

Pero debido al movimiento del medio hay que descontar dos veces el espacio recorrido por el medio durante el tiempo en que la luz vuelve hacia atrás. Dos figuras aclararán esto.

A |------->--------------------->--------| B
                                         |
                        |-------<--------| B
                        |
                        |------->--------| B

Fig 1.- Recorrido de la luz si el medio está en reposo.

A |------->-------------------->---------| B
                                         |
                        |      C|----<---| B
                        |<--d-->|
                        |      C|---->---| B

Fig 2.- Recorrido de la luz si el medio está en movinmiento.
Una mirada a la explicación que da Richard P. Feynman(*) al hecho de que la reflexión de la luz en las supercicies de entrada y salida de una lámina transparente resume la interacción del fotón en todas las capas intermedias, justifica el hecho de pensar, en la figura 2, todas las propagaciones agrupadas como si sólo hubiera una reflexión hacia atrás y otra hacia adelante.
(*) "Electrodinámica cuántica". FEYNMAN. figura 68, pag. 108. Alianza Universidad. Madrid 1988. En la figura 2 se ve que el recorrido de la luz disminuye en 2 d. BC vale la mitad del recorrido extra de la luz, es decir:

 1             c - v
--- (d - u.t) -------
 2               v
Este espacio dividido por la velocidad que es suma de la de la luz más la del medio, dará el tiempo desde que la luz sale de B y encuentra el punto de reflexión C.

 1             c - v       1
--- (d - u.t) ------- • -------
 2               v       c + u
Este tiempo multiplicado por la velocidad del medio u dará el espacio recorrido d
       1             c - v       1
d = u --- (d - u.t) ------- • -------
       2               v       c + u
Por todo lo cual se cumple que:
                    c - v        1           c - v     1
c.t = d + (d - u.t)-------  - 2u---(d - u.t)-------•-------
                      v          2             v     c + u
y como la velocidad apreciada para la radiación es:
      d                  d
v' = ---,   será:   t = ---,
      t                  v'
y sustituyendo:
   d                d     c - v         u
c --- = d + (d - u --- ) ------- (1 - -------)
   v'               v'      v          c - u

dividiendo por d y despejando v' se obtiene:
      c².v + u.c²       v + u
v' = ------------- = ------------
       v.u + c²             u.v
                       1 + -----
                             c²
que es la fórmula llamada de composición relativista de velocidades.

Cinemática de los Arrastres Parciales (Modelo Corpuscular)

Añadido el 19 de julio del 2005:

Lo que se dice aquí del electrón, debería decirse de los centros de vibración de universo, en el sentido que se explica en "Arrastre parcial de la probabilidad de amplitud". El electrón nunca se moverá a la velocidad de la luz, pero lo que gobierna su movimiento según la electrodinámica cuántica, lo que está debajo de esa ficción, sí que puede imaginarse así. Esto va bien para la interpretación de las fuerzas magnéticas en el artículo que sigue.

No olvidemos además que Dirac dijo que la medida de la velocidad de un electrón libre resulta en +c -c. Ver explicación

(Publicado en el no 420, p.22-23, del Boletín de Información del Colegio
Oficial de Ingenieros Industriales de Madrid, Nov.-Dic. 1990).

Hemos visto una explicación del efecto de arrastre de Fizeau sin recurrir a la teoría de la relatividad. Todavía se puede dar otra interpretación del fenómeno del arrastre parcial. Aquella se conforma con el aspecto ondulatorio de la interacción entre materia y energía, ésta con el corpuscular.

Supongamos que los electrones se trasladan por el conductor a la velocidad de la luz, pero permanecen largos períodos de tiempo detenidos en los átomos. Esta concepción dejará de parecer inverosímil si se piensa que, en electrodinámica cuántica, los términos de la amplitud para un cambio de lugar de un electrón, se calculan como amplitudes de un fotón efectuando "paradas" en puntos intermedios.(*)
(*) "Electrodinámica cuántica". FEYNMAN. pag. 95. Alianza Universidad. Madrid 1988.

En la figura 3 podemos ver la representación del movimiento de los electrones mientras son transportados porque se han detenido en un átomo mientras éste se mueve (-o o--) y el salto que hacen de átomo a átomo a la velocidad de la luz ( o----o ).


____________________________________________________

-------O O-----------O O----------O O-------O-
---O O------O O----------O O---------------O--
O------O O------O O-------O O------O O--
____________________________________________________

Fig. 3.- Representación del movimiento de cargas en un conductor en movimiento.

Debido al movimiento del conductor, la velocidad de los electrones se verá afectada en una medida que vamos a calcular.

Estudiemos una longitud de conductor L. Si los electrones se desplazaran a la velocidad de la luz, tardarían un tiempo

 L
---
 c
en recorrer esa distancia L.

Como lo hacen a velocidad v, tardan un tiempo

 L
---
 v
luego el tiempo que permanecen detenidos en los átomos, o efectuando las "paradas" que supone la electrodinámica cuantica,(*) es
     L       L       c - v
T = ---  -  --- = L -------
     v       c        v.c

Si el conductor se mueve, el trozo de conductor real recorrido entre dos puntos fijos que distan L entre sí, tiene una longitud L' tal que:


L' = L - u.t

siendo u la velocidad del conductor.
           L'             L'         v
como  t = ---  resulta  -----  =  -------
           v              L        v + u
y como el tiempo que los electrones están detenidos es proporcional a la longitud de conductor realmente atravesado
 T'    L'      v
--- = --- = -------
 T     L     v + u
por lo que el tiempo de detención para los electrones que viajan entre dos puntos fijos que distan L cuando el conductor se mueve a velocidad u es:
        v         c - v      v         c - v
T'= T -----  = L ------- • ------ = L -------
      v + u        v.c     v + u      c(v + u)

Con esto tenemos que la velocidad observada por un sistema fijo será igual a la distancia L dividida por el tiempo empleado, tiempo que es igual al tiempo durante el cual los electrones están detenidos, más el tiempo que tarda la luz en recorrer el espacio L menos el desplazamiento que han sufrido los electrones debido a la velocidad del conductor durante el tiempo en que han estado detenidos en los átomos, es decir:

             L              v + u
v' = ----------------- = -----------
           L - u.T'            u.v
      T'+ ---------       1 + -----
              c                 c²
que es la fórmula de la composición relativista de velocidades. A partir de ésta se pueden deducir las fórmulas del grupo de transformaciones de Lorentz y, con ellas, explicar todo lo que, hasta ahora, se ha interpretado sólo con la teoría de la relatividad.

Interpretación de las Fuerzas Electromagnéticas

(Enviado para ser publicado en el Boletín de Información del Colegio
Oficial de Ingenieros Industriales de Madrid 2l 15 de enero de 1991).

Como "el primero que acertó entre los antiguos fue Anaxágoras, que dijo que todo lo mueve el amor"(*) y "los pesos son como los amores de los cuerpos",(*) es fácil dar una interpretación cosmológica de las fuerzas centrales. Los pesos se consideran fuerzas centrales en astrofísica, y las electrostáticas también lo son.
(*) Santo Tomás. "Suma Contra Gentes". Libro 1, Cap. 20
(*) San Agustín. "La Ciudad de Dios". Libro 9, Cap. 28

En cuanto a las electromagnéticas es más difícil porque, al no ser centrales, no se les puede referir a una atracción o repulsión que se pueda analogar filosóficamente al amor, por aproximación o alejamiento del bien perfecto.

En los libros de física avanzada suele hacerse una aplicación de la composición de velocidades según la teoría de la relatividad para explicar que los campos magnéticos son campos eléctricos. No conozco una exposición más clara que la de Richard P. Feynman en su obra "Lectures on Physics".(*)
(*) Richard P. Feynman. "The Feynman Lectures on Physics".13,6 Addison Wesley. Massachusetts.

Con esta visión, las fuerzas electromagnéticas se interpretan como electrostáticas, y se reducen también al tipo de la atracción central.
Será interesante ahora hacer el ejercicio de ver si, con el modelo que acabamos de ver, es posible también interpretar las fuerzas electromagnéticas mediante simples consideraciones cinemáticas, referentes a corrientes y cargas en movimiento relativo.

Supongamos un circuito rectangular y una carga exterior que se mueve con respecto a él a velocidad  u,  como se puede ver en la figura. En ésta, las demás velocidades, se representan según son vistas desde el sistema de referencia ligado a la carga exterior. Para este sistema, la velocidad del circuito es  -u. La corriente circula por ABCDA, a velocidad  v  respecto del circuito. Como la velocidad de arrastre no se suma ni resta del todo, sinó que en AB:
 

v' > v - u
y en CD:
v' < v + u

para mantener la corriente debe variar su densidad en los tramos AB y CD.

Vamos a evaluar la fuerza electrostática que ello ocasiona y veremos que el resultado coincide con el que se obtiene al calcular la fuerza electromagnética.

--------------------------------------------------
|    o  o   o    o  o   o o   o     oo   o       |
|  o     oo     o  o  oo  o     o  o   o   o  o  |
|  o    o   o    o      o    o  o o o   o   o    |
|        -------------------------------       o |
|  o     |                             |   o     |
| o      |                             |      o  |
|      o |                             |   o     |
|    o   |                             |  o      |
|        |                             |       o |
|  o  o  -------------------------------         |
|          o                      o         o    |
|   o          o    o       o                    |
|     o   o           o            o   o   o     |
--------------------------------------------------

Fig 3.- Densidades de corriente en una espira en movimiento.

En efecto: la fuerza electromagnética sobre una carga Q que se mueve a velocidad u paralelamente a un conductor de sección S, por el que fluye una corriente de densidad d a velocidad v es:

        Q     dSvu
Fm = -------•------
      2dε0c²    r

El hecho de que si se mueve el conductor, la velocidad de las cargas no llega a ser la suma de velocidades, obliga a un aumento de la densidad de corriente para mantenerla igual. Si la nueva densidad de corriente es d', la fuerza electrostática que se produce sobre una carga Q a distancia r es:

        Q     S(d'- d)
Fe = -------•----------
       2πε0       r

En el caso de que el movimiento del conductor sea igual y contrario al de la carga del primer caso, la velocidad de las cargas será:

      c².v + u.c²       v + u
v' = ------------- = ------------
       v.u + c²             u.v
                       1 + -----
                             c²

Las densidades de carga para igualar corrientes serán:

                                   v + u
I= d'v' = (v + u).d   ;     d' =  -------•d
                                     v'

y, por tanto:

           v + u           v + u - v'
d' - d = (------ - 1).d = ------------•d
             v'                v'
por lo que:
     c²v + c²u
d = ---------- • (d' - d)
     uv² + vu²
sustituyendo en la fuerza electromagnética:
       Q     Svu   c²v + c²u
Fm = ------•------•---------•(d' - d) =
     2πε0r     c²    uv² + vu²

       Q      S    v²u + vu²
   = ------•------•---------•(d' - d) = Fe
      2πε0     r    uv² + vu²

Téngase en cuenta que, cuando la densidad de los electrones disminuye, las cargas positivas de los núcleos atómicos del conductor producen la fuerza en el sentido conveniente.

Esto permite interpretar las fuerzas electromagnéticas como consecuencia de las fuerzas electrostáticas entre cargas y corrientes en movimiento relativo, sin recurrir a la teoría de la relatividad.

Composicion de Velocidades Aparentes

(Publicado en el no 405, p.8-10, del Boletín de Información del Colegio
Oficial de Ingenieros Industriales de Madrid, Mayo-junio 1988).
Velocidad Aparente

Tengo que agradecer a mi buen amigo Carlos Rey Marcos el haberme proporcionado el artículo en el que Jesús Munárriz introduce la noción de velocidad aparente. Gracias a esto se me ocurrió que la composición de velocidades aparentes obedecería a la misma fórmula que siempre se ha explicado por medio de la teoría de la relatividad. Así llegamos a la misma conclusión por una vía más abstracta, ya que no necesita de un medio de arrastre en el sistema móvil.

Introduciremos primero el concepto de velocidad aparente según Munárriz.(*)
(*) JESUS MUNARRIZ. "¿Es admisible un intento de generalización dentro de la teoría de la relatividad?". Boletín de Información del Colegio Oficial de Ingenieros Industriales de Madrid, no 357.

Si un objeto se aleja de un observador a velocidad U, a partir del momento en que la luz llega al observador, éste le ve alejarse con una velocidad menor que la real, puesto que la luz tarda cierto tiempo en recorrer el espacio que se ha movido el objeto durante el tiempo que transcurre entre dos medidas de la situación del objeto por parte del observador.

En las figuras que siguen, una letra entre paréntesis significará "segmento proporcional a" la medida de la magnitud que representa la letra correspendiente.

A            (c)            X      (U)      B
I---------------------------I---------------I

Fig. 4.- Evaluación de la velocidad aparente.

Si en una cierta unidad de tiempo el punto A se desplaza hasta B, en este momento llega a A la información de B cuando estaba en X. Luego, como esto ocurre en la unidad de tiempo, AX mide la velocidad aparente u, y AB la real U. Representaremos en adelante las velocidades aparentes con letras minúsculas y las reales con mayúsculas. Además como la luz recorre XA en el tiempo en que el móvil se desplaza de X hasta B, AX y XB están en la relación de c y U, es decir:

 AX     c                    BX.c
---- = ---    de donde AX = ------
 BX     U                     U

La velocidad aparente es una fracción de la real igual a la proporción que hay entre AX y AB

                             BX.c
                            ------
 u     AX       AX            U             c
--- = ---- = --------- = ------------- = -------
 U     AB     AX + XB     BX.c            c + U
                          ----- + BX
                            U
y, por tanto, será:
      c.U                  c.u
u = -------    y     U = --------
     c + U                c - u

siendo u la velocidad aparente y U la velocidad real.

Composición de Velocidades Aparentes
O                 B      C      A
|-----------------|------|------|  OA = U
                  |
                  |          (c)          (U)   (U)
         O'F = V  |---------------------|-----|-----|
                  O'    sistema móvil   D     E     F

Fig. 5.- Evaluación de la velocidad aparente compuesta.

Cuando se trata de calcular la velocidad aparente para un observador fijo, de una velocidad respecto a un sistema móvil a su vez respecto del sistema fijo, hemos de ver que después de un tiempo t a partir del momento en que O y O' estaban superpuestos, la información que llegará a O del sistema móvil cuando el punto O' esté en A, no es la real sinó la del sistema móvil cuando O' estaba en B.

Mientras la información va de D a O', O' se pone sobre C, y cuando O' está en A, la información de C ha llegado a O. DE y DO' están en la misma relación que U y c por las mismas razones que lo explicado al tratar de la velocidad aparente. Si durante el tiempo en que el punto móvil va de D a E, el sistema O' va de B a C, durante el tiempo en que el sistema O' vaya de C a A, el punto móvil se desplazará de E a F, siendo DE igual a EF, ambos proporcionales a U con la misma razón de proporcionalidad que lo es O'D respecto de c. Vemos, pues, que, de la velocidad del sistema móvil V, el observador en O, percibe sólo una porción w.

         c
w = V -------- = V.f
       c + 2U

Esta velocidad w es la velocidad real efectiva transmitida al sistema fijo. En todos los fenómenos del sistema móvil en que intervenga la velocidad real, si son transmitidos al sistema fijo(*) , debe sustituirse la dicha velocidad real por w, multiplicando la velocidad real por el factor f, porque se transmite en el momento en que O' está en C, y, en este instante, sólo se puede informar de la situación del sistema móvil cuando su origen estaba en B. Este factor f es:
(*) A través de un informador que retransmite los datos obtenidos de los fotones que se absorben en un sistema móvil, modulando con un código de números, por ejemplo, un rayo LASER cuyos fotones se absorben después en el sistema fijo.

       c
f = --------
     c + 2U

La velocidad aparente para el sistema móvil es también:

  c.V
-------
 c + V

Esto es así porque para el sistema móvil la velocidad de los fotones es también c. Cada fotón se emite y se absorbe entre dos puntos de un sistema de referencia, con una velocidad que siempre es c, la llamada velocidad de la luz. No es que la misma cosa real esté en lugares distintos según el sistema de referencia, como pretende la teoría de la relatividad, porque los fotones absorbidos en un sistema de referencia son imperceptibles para el otro.(*) Un fotón sólo puede absorberse una vez. Sólo se perciben en otro sistema las consecuencias de la emisión y absorción, como si desde el sistema móvil se transmitiera a O, la información de situaciones de puntos captada fotónicamente por O'.(*)
(*) P. GRANGIER, G. ROGER, A. ASPECT, "Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: a new light on single - photon interferences". Europhysics Letters 15 febrero 1986 pp 173-179.

Si queremos la expresión de la velocidad efectiva aparente transmitida al sistema fijo tendremos:

      c.V.f
v = --------
     c - V.f

La velocidad real en función de la aparente efectiva transmitida será, despejando V:

      c.v      1      c.v      c + 2.U
V = ------- • --- = ------- • ----------
     c - v     f     c - v        c

Si en la expresión clásica de la velocidad,


V' = U + V
sustituimos las velocidades reales por las aparentes tenemos:
                                      cu
                              c + 2 -------
  cv'      cu        cv              c - u
------ = ------- + ------- • ----------------
c - v'    c - u     c - v           c

Despejando v' se obtiene la conocida fórmula llamada de la composición relativista de velocidades:

       u  +  v
v' = -------------
            u.v
       1 + -----
             c²

De esta relación se deducen las fórmulas del grupo de transformaciones de Lorentz. Pero ahora sabemos que estas transformaciones son entre puntos espacio temporales que relacionan cosas aparentes y no reales. No hay relatividad, absolutamente hablando.(*)
(*) Aunqué la física contemporánea debe a la teoría de la relatividad el haber aprendido muy bien lo que ya alcanzó la filosofía griega y que la física renacentista había olvidado: que el espacio y tiempo absolutos son una pura entelequia.


Camino(s) ascendente(s):